Teoria degli Insiemi e Insiemi Numerici

ANALISI MATEMATICA 1

Dati gli insiemi:

1. Insiemi e Operazioni Fondamentali

Definizione (Insieme):

Un insieme è una collezione ben definita di oggetti che condividono una o più proprietà in comune. Gli oggetti che costituiscono l'insieme sono detti elementi.

Notazione: Gli insiemi si indicano di norma con lettere maiuscole (\(A, B, L\)).
Appartenenza:
\(x \in A\) : "\(x\) appartiene ad \(A\)"
\(x \notin A\) : "\(x\) non appartiene ad \(A\)"
Insieme vuoto: L'insieme privo di elementi si indica con il simbolo \(\emptyset\).

Esempio e Operazioni tra Insiemi

Dati gli insiemi:

A = \{1, 2, 3, 4, a, b\} \quad \text{e} \quad B = \{1, 2, 4, 7, x, a, c\}

Unione (\(A \cup B\)): Insieme formato da tutti gli elementi presenti in \(A\), in \(B\) o in entrambi.

L = A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 7, a, b, c, x\}

Intersezione (\(A \cap B\)): Insieme formato dai soli elementi presenti contemporaneamente sia in \(A\) sia in \(B\).

L = A \cap B = \{1, 4, a\}

Differenza (\(A \setminus B\)): Insieme formato dagli elementi che stanno in \(A\) togliendo quelli presenti in \(B\).

L = A \setminus B = \{3, b\}

2. Notazioni Logiche e Prodotto Cartesiano

Quantificatori e Notazioni Logiche

Simbolo	Significato
\(\exists\)	"Esiste"
\(\exists!\)	"Esiste ed è unico"
\(\nexists\)	"Non existe"
\(\forall\)	"Per ogni"

Prodotto Cartesiano

Definizione: Dati due insiemi \(A\) e \(B\), il prodotto cartesiano \(A \times B\) è l'insieme di tutte le coppie ordinate \((a, b)\) con \(a \in A\) e \(b \in B\):

\(A \times B = \{ (a, b) \mid a \in A, \, b \in B \}\)

Esempio: Dati \(A = \{1, 2, 3, 7\}\) e \(B = \{3, 7, 9, 10\}\):

A \times B = \{ (1, 3), (1, 7), (1, 9), (1, 10), (2, 3), (2, 7), \dots \}

3. Insiemi Numerici

Gli insiemi numerici sono legati dalla catena di inclusione \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\):

Numeri Naturali (\(\mathbb{N}\)): \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\}\)
Numeri Interi Relativi (\(\mathbb{Z}\)): \(\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \dots\}\)
Numeri Razionali (\(\mathbb{Q}\)): \(\mathbb{Q} = \left\{ \frac{n}{k} \;\middle|\; n, k \in \mathbb{Z}, \, k \neq 0 \right\}\)
Numeri Reali (\(\mathbb{R}\)): Comprende sia i numeri razionali sia i numeri irrazionali.

4. Dimostrazione per Assurdo: Irrazionalità di \(\sqrt{2}\)

Consideriamo la diagonale di un quadrato unitario (lato \(1\)): per il Teorema di Pitagora \(d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).

Teorema: \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) (\(\sqrt{2}\) è irrazionale).

Dimostrazione:

Ipotesi per assurdo: Assumiamo che \(\sqrt{2} \in \mathbb{Q}\).
Esistono allora due interi \(n, k \in \mathbb{Z}\) primi tra loro (frazione ridotta ai minimi termini) tali che:

\sqrt{2} = \frac{n}{k} \implies k\sqrt{2} = n \implies 2k^2 = n^2

Poiché \(n^2 = 2k^2\), allora \(n^2\) è pari.
Lemma: Se \(a \in \mathbb{N}\) è dispari (\(a = 2k+1\)), il suo quadrato \(a^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1\) è dispari. Di conseguenza, se \(n^2\) è pari, necessariamente \(n\) è pari.
Possiamo quindi porre \(n = 2a\) per un opportuno \(a \in \mathbb{N}\). Sostituendo nell'equazione:

(2a)^2 = 2k^2 \implies 4a^2 = 2k^2 \implies 2a^2 = k^2

Da \(k^2 = 2a^2\) segue che anche \(k^2\) è pari, e per lo stesso motivo anche \(k\) è pari.
Contraddizione: Sia \(n\) che \(k\) risultano essere pari, quindi non sono primi tra loro (hanno \(2\) come fattore comune). L'ipotesi iniziale è quindi falsa:

\sqrt{2} \notin \mathbb{Q} \quad \blacksquare

Approssimazione di Irrazionali con Razionali

Per ogni \(x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) (come ad esempio \(\pi\)), possiamo trovare numeri razionali \(q \in \mathbb{Q}\) vicini a piacere ad \(x\):

\(q_1 = 3{,}1 = \frac{31}{10} \in \mathbb{Q}\)
\(q_2 = 3{,}14 = \frac{314}{100} \in \mathbb{Q}\)
\(q_3 = 3{,}141 = \frac{3141}{1000} \in \mathbb{Q}\)
\(q_4 = 3{,}1415 = \frac{31415}{10000} \in \mathbb{Q}\)